Геометрия · 8 класс

Как найти высоту треугольника

Высоту треугольника чаще всего находят через площадь: h = 2S : a, где a — сторона, к которой проведена высота. В равнобедренном и прямоугольном треугольнике удобнее теорема Пифагора. Если известны все три стороны, площадь считают по формуле Герона или составляют уравнение для двух прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный.

Обновлено 8 октября 2026 · вычисления в примерах проверены автоматически

Какой способ выбрать

1Известна площадь и сторона: $h = \frac{2 S}{a}$ .
2Равнобедренный треугольник, высота к основанию: она делит основание пополам, дальше работает теорема Пифагора.
3Прямоугольный треугольник, высота к гипотенузе: $h = \frac{ab}{c}$ , где $a$ , $b$ — катеты.
4Равносторонний треугольник: $h = \frac{a 3}{2}$ .
5Известны три стороны: найди площадь по формуле Герона или раздели сторону высотой на части $x$ и $a - x$ и составь уравнение по теореме Пифагора для двух треугольников.

Оформление и рисунок

Оформление обычное для геометрии: «Дано», «Найти», рисунок, решение. На рисунке подписывают вершины, основание высоты (обычно $H$ ) и ставят значок прямого угла.

Учителя в 8 классе требуют обоснований. После каждого вывода пишут, откуда он: «по теореме Пифагора», «так как в равнобедренном треугольнике высота к основанию совпадает с медианой».

В учебнике. У Атанасяна площадь треугольника и теорема Пифагора стоят рядом, в главе «Площадь» за 8 класс. Формулу Герона в разных учебниках дают в разное время, поэтому в третьем примере основной способ через теорему Пифагора.

Задачи с решением

Пример 1. Равнобедренный треугольник

Условие.Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 13 см, основание — 10 см. Найдите высоту, проведённую к основанию.

Дано

$△ A B C$ , $A B = B C = 13$ см
$A C = 10$ см
$B H ⊥ A C$

Найти

$B H$ — ?

Рисунок

Начерти равнобедренный треугольник

A B C

с основанием

A C

, проведи высоту

B H

, отметь прямой угол при

H

и равные отрезки

A H

H C

Решение

В равнобедренном треугольнике высота к основанию совпадает с медианой, поэтому $A H = \frac{10}{2} = 5$ см.
Из прямоугольного $△ A B H$ по теореме Пифагора: $B H = A B^{2} - A H^{2} = 1 3^{2} - 5^{2} = 144 = 12$ (см).

Ответ: 12 см.

Пример 2. Высота к гипотенузе

Условие.Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Дано

$△ A B C$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$
$A C = 6$ см, $B C = 8$ см
$C H ⊥ A B$

Найти

$C H$ — ?

Решение

По теореме Пифагора $A B = 6^{2} + 8^{2} = 10$ (см).
Площадь через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ (см²).
Площадь через гипотенузу: $S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$ , откуда $C H = \frac{2 S}{A B} = \frac{48}{10} = 4, 8$ (см).

Ответ: 4,8 см.

Пример 3. Известны три стороны

Условие.Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите высоту, проведённую к стороне 14 см.

Дано

$△ A B C$
$A B = 13$ см
$A C = 14$ см
$B C = 15$ см
$B H ⊥ A C$

Найти

$B H$ — ?

Решение

Пусть $A H = x$ , тогда $H C = 14 - x$ .
Из $△ A B H$ и $△ C B H$ по теореме Пифагора: $B H^{2} = 1 3^{2} - x^{2} = 1 5^{2} - (14 - x)^{2}$ .
$169 - x^{2} = 225 - 196 + 28 x - x^{2}$ , $169 = 29 + 28 x$ , $x = 5$ .
$B H = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ (см).

Ответ: 12 см.

Обрати внимание

Если формулу Герона уже проходили:

p = 21

S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 84

h = \frac{2 \cdot 84}{14} = 12

. Ответ совпал.

Разберём твою задачу на эту тему

Сфотографируй задачу — получишь решение в оформлении 8 класса. Первое решение без регистрации.

Класс — от него зависит оформление

Загрузи фото задачи

Перетащи сюда, вставь скриншот через Ctrl+V или выбери файл

Сфотографируй или выбери снимок из галереи

Разрешаю использовать фото для улучшения сервиса. Без этой галочки фото удаляется сразу после распознавания.

Частые ошибки

Так пишут
$h = \frac{S}{a} = \frac{24}{10} = 2, 4$
Надо
$h = \frac{2 S}{a} = \frac{48}{10} = 4, 8$
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, поэтому двойка в формуле обязательна.
В равнобедренном треугольнике пополам делят основание, а не боковую сторону. На рисунке это сразу видно, если его нарисовать.
В тупоугольном треугольнике высоты из острых углов падают на продолжения сторон. Многие рисуют их внутри и получают неверную картинку.

Реши сам

1.Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 8 см.
Показать ответ
$43$ см ≈ 6,93 см
2.Катеты прямоугольного треугольника 5 см и 12 см. Найдите высоту к гипотенузе.
Показать ответ
$\frac{60}{13}$ см ≈ 4,62 см
3.Стороны равнобедренного треугольника 10 см, 10 см и 12 см. Найдите высоту к основанию.
Показать ответ
8 см

Вопросы

Сколько высот у треугольника?

Три, по одной из каждой вершины. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Связанные темы

Геометрия · 8 классСинус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольникеВ прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс получают делением противолежащего катета на прилежащий.