Геометрия · 8 класс

Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс получают делением противолежащего катета на прилежащий.

Обновлено 8 октября 2026 · вычисления в примерах проверены автоматически

Формулы (угол C прямой)

1 $sin A = \frac{B C}{A B}$ : противолежащий катет делим на гипотенузу.
2 $cos A = \frac{A C}{A B}$ : прилежащий катет делим на гипотенузу.
3 $tg A = \frac{B C}{A C}$ : противолежащий катет делим на прилежащий.
4Катет через гипотенузу: $B C = A B \cdot sin A$ , $A C = A B \cdot cos A$ .
5Синус и косинус острого угла меньше 1, потому что катет короче гипотенузы.

Значения для углов 30°, 45°, 60°

Угол	sin	cos	tg
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{3}$
45°	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	1
60°	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$

Как записать в тетради

Рисунок с подписанными вершинами и отмеченным прямым углом здесь не формальность. По нему видно, какой катет противолежащий, а какой прилежащий.

У синуса, косинуса и тангенса нет единиц измерения, в ответе пишут просто число.

В учебнике. У Атанасяна синус, косинус и тангенс острого угла вводят в 8 классе, в главе о подобных треугольниках. Там же таблица значений для 30°, 45° и 60°.

Примеры

Пример 1. Синус, косинус и тангенс по сторонам

Условие.В прямоугольном треугольнике катет равен 6, а гипотенуза 10. Найдите синус, косинус и тангенс угла, противолежащего этому катету.

Дано

$△ A B C$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$
$B C = 6$ , $A B = 10$

Найти

$sin A$ , $cos A$ , $tg A$ — ?

Решение

По теореме Пифагора $A C = 1 0^{2} - 6^{2} = 8$ .
$sin A = \frac{B C}{A B} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
$cos A = \frac{A C}{A B} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
$tg A = \frac{B C}{A C} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Ответ:

sin A = \frac{3}{5}

cos A = \frac{4}{5}

tg A = \frac{3}{4}

Пример 2. Катеты через гипотенузу и угол

Условие.В треугольнике $A B C$ угол $C$ прямой, $A B = 12$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$ . Найдите $B C$ и $A C$ .

Дано

$△ A B C$ , $∠ C = 9 0^{\circ}$
$A B = 12$ , $∠ A = 3 0^{\circ}$

Найти

$B C$ , $A C$ — ?

Решение

$B C = A B \cdot sin A = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$
$A C = A B \cdot cos A = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63$

Ответ:

B C = 6

A C = 63

Обрати внимание

Катет против угла 30° равен половине гипотенузы. Это свойство из 7 класса даёт тот же ответ без синуса.

Пример 3. Стороны по тангенсу

Условие.В прямоугольном треугольнике $A B C$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ) $tg A = \frac{3}{4}$ , $A C = 8$ . Найдите $B C$ и $A B$ .

Дано

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $tg A = \frac{3}{4}$
$A C = 8$

Найти

$B C$ , $A B$ — ?

Решение

$B C = A C \cdot tg A = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$
По теореме Пифагора $A B = 8^{2} + 6^{2} = 10$ .

Ответ:

B C = 6

A B = 10

Разберём твою задачу на эту тему

Сфотографируй задачу — получишь решение в оформлении 8 класса. Первое решение без регистрации.

Класс — от него зависит оформление

Загрузи фото задачи

Перетащи сюда, вставь скриншот через Ctrl+V или выбери файл

Сфотографируй или выбери снимок из галереи

Разрешаю использовать фото для улучшения сервиса. Без этой галочки фото удаляется сразу после распознавания.

Типичные ошибки

Чаще всего путают катеты. Противолежащий лежит напротив угла. Прилежащий сам образует этот угол вместе с гипотенузой.
Так пишут
$sin A = \frac{10}{6}$
Надо
$sin A = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Синус больше 1 не бывает. Если так вышло, дробь перевёрнута.
Так пишут
$sin A = 0, 6$ см
Надо
$sin A = 0, 6$
Это отношение двух длин, сантиметры сокращаются.

Проверь себя

1.Катеты прямоугольного треугольника 5 и 12. Найдите синус меньшего острого угла.
Показать ответ
$\frac{5}{13}$
2.Гипотенуза равна 20, один из острых углов — 60°. Найдите катет, противолежащий этому углу.
Показать ответ
$103$
3.В прямоугольном треугольнике $cos A = 0, 8$ , гипотенуза $A B = 15$ . Найдите катет $A C$ .
Показать ответ
12
4.Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 7. Чему равен тангенс острого угла?
Показать ответ
1 (угол 45°)

Вопросы и ответы

Как запомнить, где синус, а где косинус?

Синус «смотрит» на противолежащий катет, косинус на прилежащий. Ещё помогает равенство $sin A = cos B$ для двух острых углов прямоугольного треугольника.

Где взять синус угла 37° или 52°?

В таблице Брадиса или на калькуляторе. В задачах 8 класса такие углы почти не встречаются, хватает 30°, 45° и 60°.

Связанные темы

Геометрия · 8 классКак найти высоту треугольникаВысоту треугольника чаще всего находят через площадь: h = 2S : a, где a — сторона, к которой проведена высота. В равнобедренном и прямоугольном треугольнике удобнее теорема Пифагора. Если известны все три стороны, площадь считают по формуле Герона или составляют уравнение для двух прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный.