Алгебра · 8 класс

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

Q: Когда удобнее теорема Виета?

Когда $a = 1$ и корни небольшие целые: их легко подобрать по сумме $-b$ и произведению $c$. В остальных случаях надёжнее дискриминант.

Q: Что такое дискриминант D/4?

Если $b$ чётное, можно считать $D_1 = (b/2)^2 - ac$ и корни $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{D_1}}{a}$. Числа меньше, ответ тот же.

Q: Почему корни пишут через точку с запятой?

Чтобы не путать с десятичной запятой. Ответ «$2,5$» можно прочитать как одно число, а «$2;\ 5$» нет.

Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решают через дискриминант D = b² − 4ac. При D > 0 корней два: x = (−b ± √D) / 2a. При D = 0 корень один, x = −b / 2a. При D < 0 действительных корней нет.

Обновлено 8 октября 2026 · вычисления в примерах проверены автоматически

Алгоритм

1Приведи уравнение к виду $a x^{2} + b x + c = 0$ и выпиши коэффициенты $a$ , $b$ , $c$ вместе со знаками.
2Вычисли дискриминант: $D = b^{2} - 4 a c$ .
3Если $D > 0$ : $x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$ .
4Если $D = 0$ : $x = \frac{- b}{2 a}$ .
5Если $D < 0$ : действительных корней нет.
6Запиши ответ. Корни можно проверить подстановкой или по теореме Виета, это занимает полминуты.

Как записать в тетради

Коэффициенты выписывают отдельной строкой: $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ . Так меньше ошибок со знаками.

Дискриминант и каждый корень считают с новой строки. В ответе корни перечисляют через точку с запятой, обычно по возрастанию.

В учебнике. В учебнике Макарычева формула корней квадратного уравнения идёт в 8 классе, в главе «Квадратные уравнения», там же теорема Виета. Мордкович проходит её в том же году.

Три случая

Пример 1. Два корня

Условие.Решите уравнение $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

Решение

$a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$
$D = b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
$x_{1, 2} = \frac{5 \pm 1}{2}$
$x_{1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ , $x_{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Ответ:

2; 3

Проверка

По теореме Виета:

2 + 3 = 5 = - b

2 \cdot 3 = 6 = c

. Сходится.

Пример 2. Коэффициент a не равен 1

Условие.Решите уравнение $2 x^{2} + 3 x - 2 = 0$ .

Решение

$a = 2$ , $b = 3$ , $c = - 2$
$D = 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2) = 9 + 16 = 25$
$x_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{4}$
$x_{1} = \frac{- 3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$ , $x_{2} = \frac{- 3 - 5}{4} = - 2$

Ответ:

- 2; \frac{1}{2}

Пример 3. Один корень и нет корней

Условие.Решите уравнения: а) $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ ; б) $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ .

Решение

а) $D = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$
$x = \frac{6}{2} = 3$
б) $D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16$ , $D < 0$ , действительных корней нет.

Ответ: а)

3

; б) корней нет.

Разберём твою задачу на эту тему

Сфотографируй задачу — получишь решение в оформлении 8 класса. Первое решение без регистрации.

Класс — от него зависит оформление

Загрузи фото задачи

Перетащи сюда, вставь скриншот через Ctrl+V или выбери файл

Сфотографируй или выбери снимок из галереи

Разрешаю использовать фото для улучшения сервиса. Без этой галочки фото удаляется сразу после распознавания.

Ошибки со знаками и не только

Так пишут
$D = - 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = - 49$
Надо
$D = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1$
Без скобок минус не возводится в квадрат. Отрицательное $b$ всегда пиши в скобках.
Так пишут
$x = - 5 \pm \frac{1}{2}$
Надо
$x = \frac{5 \pm 1}{2}$
Дробная черта стоит под всем числителем, вместе с $- b$ .
Знак $- b$ теряют и в формуле корней: при $b = - 5$ в числителе стоит $5$ .
Неполные уравнения вроде $x^{2} - 3 x = 0$ можно решать через дискриминант, это не ошибка. Но быстрее вынести $x$ за скобки.

Проверь себя

1.Решите уравнение $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ .
Показать ответ
$2; 5$
2.Решите уравнение $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ .
Показать ответ
$- \frac{1}{3}; 1$
3.Решите уравнение $x^{2} + 4 x + 4 = 0$ .
Показать ответ
$- 2$
4.Решите уравнение $2 x^{2} - x + 3 = 0$ .
Показать ответ
$D = 1 - 24 = - 23$ , корней нет

Вопросы

Когда удобнее теорема Виета?

Когда $a = 1$ и корни небольшие целые: их легко подобрать по сумме $- b$ и произведению $c$ . В остальных случаях надёжнее дискриминант.

Что такое дискриминант D/4?

Если $b$ чётное, можно считать $D_{1} = (b /2)^{2} - a c$ и корни $x = \frac{- b /2 \pm D _{1}}{a}$ . Числа меньше, ответ тот же.

Почему корни пишут через точку с запятой?

Чтобы не путать с десятичной запятой. Ответ « $2, 5$ » можно прочитать как одно число, а « $2; 5$ » нет.

Связанные темы

Алгебра · 8 классКак выделить полный квадрат из квадратного трёхчленаЧтобы выделить полный квадрат из трёхчлена x² + bx + c, прибавьте и вычтите (b/2)². Получится x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c. Если коэффициент при x² не равен 1, его сначала выносят за скобки.Алгебра · 8–9 классМетод переброски при решении квадратных уравненийМетод переброски нужен, чтобы решить уравнение ax² + bx + c = 0 при a ≠ 1 подбором по теореме Виета. Коэффициент a умножают на свободный член и решают уравнение y² + by + ac = 0. Его корни делят на a и получают ответ.