Алгебра · 8–9 класс

Метод переброски при решении квадратных уравнений

Q: Почему метод переброски работает?

Если умножить уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ на $a$ и обозначить $y = ax$, получится $y^2 + by + ac = 0$. Значит, $x = \frac{y}{a}$.

Метод переброски нужен, чтобы решить уравнение ax² + bx + c = 0 при a ≠ 1 подбором по теореме Виета. Коэффициент a умножают на свободный член и решают уравнение y² + by + ac = 0. Его корни делят на a и получают ответ.

Обновлено 8 октября 2026 · вычисления в примерах проверены автоматически

Алгоритм

1Для уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ запиши вспомогательное: $y^{2} + b y + a c = 0$ .
2Подбери его корни по теореме Виета: $y_{1} + y_{2} = - b$ , $y_{1} \cdot y_{2} = a c$ .
3Найди корни исходного уравнения: $x_{1} = \frac{y _{1}}{a}$ , $x_{2} = \frac{y _{2}}{a}$ .
4Если корни вспомогательного уравнения не подбираются, решай через дискриминант.

Оформление

Сначала вспомогательное уравнение и подбор корней, потом деление на $a$ . Учителя нередко просят пояснить, откуда взялось уравнение с $y$ , хватит одной строки про замену $y = a x$ .

В учебнике. В основном тексте школьных учебников этого метода обычно нет. Его показывают на факультативах и в пособиях по подготовке к ОГЭ, поэтому на контрольной лучше записать замену явно.

Два примера

Пример 1. 2x² − 9x − 5 = 0

Условие.Решите уравнение $2 x^{2} - 9 x - 5 = 0$ методом переброски.

Решение

Перебросим $a = 2$ : $y^{2} - 9 y - 10 = 0$ ( $a c = 2 \cdot (- 5) = - 10$ ).
По теореме Виета: $y_{1} + y_{2} = 9$ , $y_{1} \cdot y_{2} = - 10$ , значит $y_{1} = 10$ , $y_{2} = - 1$ .
$x_{1} = \frac{10}{2} = 5$ , $x_{2} = \frac{- 1}{2} = - \frac{1}{2}$

Ответ:

- \frac{1}{2}; 5

Проверка

Подставим

x = 5

2 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 - 5 = 50 - 45 - 5 = 0

Пример 2. 6x² − 7x − 3 = 0

Условие.Решите уравнение $6 x^{2} - 7 x - 3 = 0$ .

Решение

$y^{2} - 7 y - 18 = 0$ ( $a c = 6 \cdot (- 3) = - 18$ ).
$y_{1} + y_{2} = 7$ , $y_{1} \cdot y_{2} = - 18$ : $y_{1} = 9$ , $y_{2} = - 2$ .
$x_{1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ , $x_{2} = \frac{- 2}{6} = - \frac{1}{3}$

Ответ:

- \frac{1}{3}; \frac{3}{2}

Разберём твою задачу на эту тему

Сфотографируй задачу — получишь решение в оформлении 8–9 класса. Первое решение без регистрации.

Класс — от него зависит оформление

Загрузи фото задачи

Перетащи сюда, вставь скриншот через Ctrl+V или выбери файл

Сфотографируй или выбери снимок из галереи

Разрешаю использовать фото для улучшения сервиса. Без этой галочки фото удаляется сразу после распознавания.

Подводные камни

Так пишут
Ответ: $10; - 1$
Надо
Ответ: $- \frac{1}{2}; 5$
В ответ попали корни уравнения с $y$ . Их ещё надо разделить на $a = 2$ .
Самая тихая ошибка: при отрицательном $c$ произведение $a c$ записывают с плюсом. Дальше всё решение идёт мимо.
Если за минуту корни не подобрались, дальше подбирать бесполезно. Переходи к дискриминанту.

Проверь себя

1.Решите уравнение $3 x^{2} + 11 x + 6 = 0$ .
Показать ответ
$y^{2} + 11 y + 18 = 0$ , $y = - 2$ и $- 9$ , ответ: $- 3; - \frac{2}{3}$
2.Решите уравнение $5 x^{2} - 11 x + 2 = 0$ .
Показать ответ
$\frac{1}{5}; 2$

Вопросы

Почему метод переброски работает?

Если умножить уравнение $a x^{2} + b x + c = 0$ на $a$ и обозначить $y = a x$ , получится $y^{2} + b y + a c = 0$ . Значит, $x = \frac{y}{a}$ .

Можно ли использовать метод переброски на экзамене?

Да, это верное преобразование. Чтобы эксперт не сомневался, добавь строку с заменой $y = a x$ .

Чем он лучше дискриминанта?

Только скоростью, и то когда корни подбираются в уме. Если $a c$ большое или корни дробные, дискриминант быстрее.

Связанные темы

Алгебра · 8 классКак решать квадратные уравнения через дискриминантКвадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решают через дискриминант D = b² − 4ac. При D > 0 корней два: x = (−b ± √D) / 2a. При D = 0 корень один, x = −b / 2a. При D < 0 действительных корней нет.Алгебра · 8 классКак выделить полный квадрат из квадратного трёхчленаЧтобы выделить полный квадрат из трёхчлена x² + bx + c, прибавьте и вычтите (b/2)². Получится x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c. Если коэффициент при x² не равен 1, его сначала выносят за скобки.