Алгебра · 8 класс

Как выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена

Q: Как найти наименьшее значение выражения?

Выделить квадрат: $x^2 - 8x + 20 = (x - 4)^2 + 4$. Квадрат не бывает отрицательным, поэтому выражение не меньше $4$, а ровно $4$ оно при $x = 4$.

Q: Как решить уравнение выделением квадрата?

Например, $x^2 + 6x + 5 = 0$: $(x + 3)^2 - 4 = 0$, $(x + 3)^2 = 4$, $x + 3 = \pm 2$, откуда $x = -1$ или $x = -5$.

Чтобы выделить полный квадрат из трёхчлена x² + bx + c, прибавьте и вычтите (b/2)². Получится x² + bx + c = (x + b/2)² − (b/2)² + c. Если коэффициент при x² не равен 1, его сначала выносят за скобки.

Обновлено 8 октября 2026 · вычисления в примерах проверены автоматически

Алгоритм

1Если коэффициент при $x^{2}$ не равен 1, вынеси его за скобки из первых двух слагаемых.
2Возьми половину коэффициента при $x$ : $\frac{b}{2}$ .
3Прибавь и вычти $(\frac{b}{2})^{2}$ , чтобы получилась формула квадрата суммы или разности.
4Сверни: $x^{2} + b x + (\frac{b}{2})^{2} = (x + \frac{b}{2})^{2}$ .
5Приведи оставшиеся числа.

Как записывать

Преобразования пишут цепочкой равенств. Прибавленное и вычтенное число ставят рядом, например $+ 9 - 9$ : так видно, что выражение не изменилось.

В учебнике. Отдельного параграфа про выделение квадрата во многих учебниках нет. У Макарычева в 8 классе этим приёмом выводят формулу корней квадратного уравнения, а в 9 классе он нужен для вершины параболы.

Разбор

Пример 1. Коэффициент при x² равен 1

Условие.Выделите полный квадрат: $x^{2} + 6 x + 5$ .

Решение

Половина коэффициента при $x$ : $6 : 2 = 3$ , $3^{2} = 9$ .
$x^{2} + 6 x + 5 = x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^{2} - 4$

Ответ:

(x + 3)^{2} - 4

Проверка

Раскроем скобки обратно:

(x + 3)^{2} - 4 = x^{2} + 6 x + 9 - 4 = x^{2} + 6 x + 5

Пример 2. Коэффициент при x² не равен 1

Условие.Выделите полный квадрат: $2 x^{2} - 12 x + 7$ .

Решение

$2 x^{2} - 12 x + 7 = 2 (x^{2} - 6 x) + 7$
$= 2 ((x - 3)^{2} - 9) + 7 = 2 (x - 3)^{2} - 18 + 7 = 2 (x - 3)^{2} - 11$

Ответ:

2 (x - 3)^{2} - 11

Как думать

Внутри скобок коэффициент при

x^{2}

уже равен 1, там всё как в первом примере. Только не забудь, что вычтенная девятка тоже умножается на 2.

Разберём твою задачу на эту тему

Сфотографируй задачу — получишь решение в оформлении 8 класса. Первое решение без регистрации.

Класс — от него зависит оформление

Загрузи фото задачи

Перетащи сюда, вставь скриншот через Ctrl+V или выбери файл

Сфотографируй или выбери снимок из галереи

Разрешаю использовать фото для улучшения сервиса. Без этой галочки фото удаляется сразу после распознавания.

Частые ошибки

Девятку прибавили, а вычесть забыли. Выражение от этого стало другим.
Так пишут
$x^{2} - 8 x = (x + 4)^{2} - 16$
Надо
$x^{2} - 8 x = (x - 4)^{2} - 16$
Знак в скобке совпадает со знаком при $x$ .
Так пишут
$2 (x^{2} - 6 x) + 7 = 2 (x - 3)^{2} - 9 + 7$
Надо
$2 (x^{2} - 6 x) + 7 = 2 (x - 3)^{2} - 18 + 7$
Девятка была внутри скобок, поэтому выходит из них умноженной на 2.

Сделай сам

1.Выделите полный квадрат: $x^{2} + 10 x + 21$ .
Показать ответ
$(x + 5)^{2} - 4$
2.Выделите полный квадрат: $x^{2} - 4 x + 7$ .
Показать ответ
$(x - 2)^{2} + 3$
3.Выделите полный квадрат: $3 x^{2} + 6 x - 1$ .
Показать ответ
$3 (x + 1)^{2} - 4$

Вопросы

Зачем выделять полный квадрат?

Так находят наименьшее или наибольшее значение выражения, вершину параболы, решают квадратные уравнения и доказывают неравенства.

Как найти наименьшее значение выражения?

Выделить квадрат: $x^{2} - 8 x + 20 = (x - 4)^{2} + 4$ . Квадрат не бывает отрицательным, поэтому выражение не меньше $4$ , а ровно $4$ оно при $x = 4$ .

Как решить уравнение выделением квадрата?

Например, $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ : $(x + 3)^{2} - 4 = 0$ , $(x + 3)^{2} = 4$ , $x + 3 = \pm 2$ , откуда $x = - 1$ или $x = - 5$ .

Связанные темы

Алгебра · 8 классКак решать квадратные уравнения через дискриминантКвадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решают через дискриминант D = b² − 4ac. При D > 0 корней два: x = (−b ± √D) / 2a. При D = 0 корень один, x = −b / 2a. При D < 0 действительных корней нет.Алгебра · 8–9 классМетод переброски при решении квадратных уравненийМетод переброски нужен, чтобы решить уравнение ax² + bx + c = 0 при a ≠ 1 подбором по теореме Виета. Коэффициент a умножают на свободный член и решают уравнение y² + by + ac = 0. Его корни делят на a и получают ответ.